Rabu, 07 Maret 2012



MATEMATIKA KEUANGAN
BUNGA TUNGGAL,BUNGA MAJEMUK DAN ANUITAS

PERHITUNGAN BUNGA DALAM MATEMATIKA KEUANGAN

  Bunga adalah jumlah sewa yang dikenakan oleh institusi keuangan atas pemakaian uang, atau Jumlah uang yang diterima sebagai hasil dari investasi dana, baik dengan meminjamkannya atau dengan menggunakannya untuk pembelian bahan, tenaga kerja, atau fasilitas.
  Jadi, bunga merupakan pertambahan pada jumlah uang yang semula dipinjamkan atau yang diinvestasikan.


1. Bunga Majemuk

Pengertian :
         Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke dalam nilai pokok pada akhir
         setiap periode untuk mendapatkan nilai pokok yang baru

      Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama pereode bunga tertentu, misalnya satu tahun, maka setelah satu tahun kita akan mendapat bunga sebesar P % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada pereode berikutnya sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikut berbeda jumlanya ( menjadi bunga berbunga ) maka dikatan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.


   Manfaat Bunga Majemuk
  1. Menghitung Anuitas
  2. Mengamortisasi Utang dan Obligasi
  3. Penilaian alternatif dari beberapa investasi/pendanaan

   Rumus Bunga Majemuk
Mn = M (1+b)n
 b      = jm/m

Notasi :
Mn = nilai akhir
M = nilai pokok awal
n  = jumlah periode perhitungan bunga
b  = tingkat bunga per periode perhitungan bunga
m = frekuensi perhitungan bunga
j= tingkat bunga nominal dengan periode  
       perhitungan m kali per tahun
Contoh 1:
Mencari NILAI BUNGA MAJEMUK
Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran ?

Diketahui :
Mn = M (1+b)n

 b
= jm/m

M =  1.000.000
I   =  10 % : 2 (Semester )= 0,05
n  =  1periode

Mn = 1.000.000 (1+0,05) 1


Periode (n)
Nilai Pokok Awal (P)
Bunga Majemuk
Nilai akhir
( Mn = M (1+i) n
1
Rp1.000.000
Rp1.000.000 x 0,05 = Rp50.000
Rp1.050.000
2
Rp1.050.000
Rp1.050.000 x 0,05 = Rp52.500
Rp1.102.500
3
Rp1.102.500
Rp1.102.500 x 0.05 =Rp55.125
Rp1.157.625
4
Rp1.157.625
Rp1.157.625 x 0.05 =Rp57.881,25
Rp1.215.506,25
  Jadi total bunga majemuk selama 2 tahun yang dihitung semesteran adalah Rp 215.506,25,-

Latihan :
  Hitunglah bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 18% p.a. apabila bunga dihitung semesteran ?
  Hitunglah bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 12% p.a. apabila bunga dihitung semesteran ?
  Hitunglah bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 24% p.a. apabila bunga dihitung semesteran


Contoh 2 :
  Berapa nilai S dari P = Rp1.000.000 dengan tingkat bunga dihitung semesteran atau j2 = 18% p.a. selama 5 tahun?
  Tuan Garda menyimpan uangnya sebesar Rp5.000.000 dalam sebuah bank yang memberikan bunga sebesar 18% pertahun dimana bunga dihitung bulanan. Berapa besarnya bunga yang dihasilkan selama tahun pertama?

  JAWAB :

  Soal 1
Dik etahui :
M = Rp1.000.000
b  = 18% / 2 = 9% = 0.09
n  = 5 x 2 = 10 periode
Mn= M (1+b)n
M = Rp1.000.000 (1+0,09)10
M = Rp1.000.000 (2,367363675)
M = Rp2.367.363,675

  Soal 2
M= Rp5.000.000
b = 18% / 12 = 1,5% = 0,015
n = 12 periode
Mn = M(1+b)n
Mn = Rp5.000.000 (1+0,015)12
Mn = 5.978.090,857
b  = S – P
b  = Rp5.978.090,857 – Rp5.000.000
b  = Rp 978.090,857

Latihan ke2

1.Berapa nilai Mn dari M = Rp2.000.000 dengan tingkat bunga dihitung semesteran
    atau j2 = 24% p.a. selama 5 tahun?
2.Tuan Garda menyimpan uangnya sebesar Rp10.000.000 dalam sebuah bank yang
    memberikan bunga sebesar 12% pertahun dimana bunga dihitung bulanan. Berapa
    besarnya bunga yang dihasilkan selama tahun pertama

B. Menghitung Nilai Sekarang

Proses mencari nilai sekarang (present value) disebut Pendiskontoan (discounting)
RUMUS :

Dari Persamaan : Mn = M(1+b)n
Maka, untuk mencari M ???
M = Mn / (1+b)
Berapa nilai M yang membuat Mn = Rp 100.000.000 dengan tingkat bunga dihitung triwulan atau  j4 = 12% p.a. selama 6 tahun?
j4 = 12 bulan : 3 bulan = 4 bulan

Jawab :
Mn = Rp100.000.000
b    = 12% / 4 = 3% = 0,03
N   = 6 x 4 = 24 periode
                 Mn = M(1+b)n
100.000.000 = M(1+0,03)24
100.000.000 = M(2,032794106)
                  M= Rp 49.193.373,65
.
Menghitung Tingkat Bunga dan  Jumlah Periode
  Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Tingkat Bunga ( b) :
         Bagaimana mencari b ???
         M (1+b)n = Mn
            (1+b)n = Mn / M
            (1+b)  = (Mn / M)1/n
                     b   = (Mn / M)1/n – 1
  Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Jumlah Periode ( n ) :
         Bagaimana mencari n ???
          M (1+i)n = Mn
             (1+i)n = Mn/ M
          log (1+b)n   = log Mn / M
             n log (1+b)   = log Mn/ M
                         n   =  log Mn / M
                                 log (1+b)

Contoh soal :
Garda sekarang menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000 dengan tingkat bunga 24% per tahun yang dihitung bulanan
a)     Berapa besar uang Garda bila ia hendak mengambilnya pada :(Mn)
         - Akhir tahun pertama
         - Akhir tahun kedua
         - Akhir tahun ketiga
b)     Apabila Garda ingin uangnya menjadi Rp150.000.000 berapa lama ia harus menunggu ? (n)
c)     Apabila uang tersebut ia depositokan dengan bunga majemuk yang dihitung bulanan selama 3 tahun, ia akan memperoleh Rp130.000.000. Berapakah tingkat bunga yang diberikan deposito itu ? (b)

Jawab :
Dik :      j12 = 24
               b = 2%
                       M = Rp50.000.000

a)Jumlah uang Garda jika diambil pada :
         Akhir tahun pertama (n=12)
           Mn= M (1+b)n
                    Mn = Rp.50.000.000 (1+2%)12
           Mn = Rp 63.412.089,73

b) Akhir tahun kedua  (n=24)
      Mn = M (1+b)n
      Mn = Rp50.000.000 (1+2%)24
        Mn= Rp80.421.862,47

c) Akhir tahun ketiga (n=36)
         Mn = M(1+b)n
       Mn= Rp 50.000.000 (1+2%)36
     Mn= Rp101.994.367,2

B. Bila Garda  ingin uangnya menjadi Rp150.000.000, maka ia harus menunggu selama :
         n  = log Mn/M
           log (1+b)
    n =  log Rp150.000.000 / Rp 50.000.000
           log (1+2%)
    n = 55,48 bulan

C. Tingkat bunga deposito
b = (Mn/ M)1/n – 1
b = (Rp130.000.000 / 50.000.000)1/36-1
B = 2,69 % atau  32,28% per tahun

Latihan :
1.       Pada ulang tahun ke-20, Anjani memperoleh hadiah uang sebesar Rp 10.000.000,- sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Anjani dilahirkan. Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat dia dilahirkan, jika tingkat bunga tabungan tidak berubah yaitu 6% per tahun (dihitung bulanan) ?
2.       Seorang bapak menabung dalam bentuk deposito sebagai persiapan untuk warisan bagi anaknya sebesar Rp 20.000.000,- dan setelah 25 tahun uang itu diambil dengan bunga tetap 6% per tahun yang dihitung bulanan. Berapa jumlah uang bapak tersebut?


2.Bunga Tunggal

Pengertian Bunga

Persen Diatas Seratus dan Persen Dibawah Seratus
Persen Di atas Seratus            
         Persen diatas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis :




        

Untuk menentukan P diatas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu  :
Dengan perhitungan biasa,P % di atas seratus dari modal M adalah :

           Text Box:                                                                                                                                                                                                             



Dengan jumlah deret geometri  turun tak berhinga :
        
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak terhingga dengan :
Suku pertama
Rasio              
Sehingga ,
               - …
Dengan demikian untuk menghitung  adalah :
Hitung
Hasil 1) dikurangi
Hasil 2) ditambah
Hasil 3) dikurangi
Dan seterusnya
Contoh 3
Persen Di bawah Seratus
        
         Persen dibawah seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis :


Text Box:


        

Untuk menentukan P dibawah seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu  :
Dengan perhitungan biasa,P % di bawah  seratus dari modal M adalah :

           Text Box:                                                                                                                                                                                                              



Dengan jumlah deret geometri  turun tak berhinga :
        
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak terhingga dengan :

               - …
Dengan demikian untuk menghitung  adalah :

Pengertian Bunga Tunggal

            Bunga Tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipimjam.

         Jika kita memperbungakan modal (uang ) sebesar M dengan bunga tunggal sebesar P % setahun, dan besarnya bunga dinyatakan dengan I , maka :
Setelah t tahun, besarnya bunga :
Text Box:   




Setelah t bulan, besarnya bunga :


Text Box:






Setelah t bulan, besarnya bunga :
1) Jika satu tahu 360 hari, maka


Text Box:






      2) Jika satu tahun 365 hari ( tahun kabisat) ,maka
Text Box:                      
Text Box:                  



3) Jika satu tahun 366 hari ( tahun kabisat) ,maka
Text Box:                      
                



Metode Perhitungan Bunga Tunggal
a.      Metode Pembagi Tetap
         Kita telah mengenal rumus untuk mencari besar bunga dari uang sebesar M yang digunakan selama t hari dengan suku bunga P % setahun,yang dirunuskan sebagai berikut :
           
              
              
Bentuk  disebut angka tahun dan  disebut penbagi tetap, maka rumus bunga di atas menjadi :
Text Box:         


Jika ada beberapa uang yang dipergunakan atas dasar bunga yang sama maka :
 
 





b.      Metode persen yang sebanding
        
         Metode persen yang sebanding digunakan jika suku bunga bukan merupakan pembagi habis 360, sebab dengan metode ini satu tahun dihitung 360 hari,missal kita ambil suku bunga 9 % setahun ,dengan langkah sebagai berikutini :
a.      Hitunglah besar bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga merupakan pembagi habis 360 !
b.      Hitunglah besar bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang sebanding!

c.      Metode persen yang seukuran
         Metode persen yang seukuran menggunakan perhitungan satu tahun = 365, sehingga perhitngan dengan metode ini mula – mula harus dihitung bunga 5 % setahun sebagai berikut :

  
  
Bilangan
Jadi, besar bunga 5 % sebanding dengan
   
Kemudian, menghitung besarnya bunga yang dimaksud dengan metode persen yang sebanding.

      c.  Rp   900.000,00 selama 90 hari


a.            Perbedaan bunga dengan diskonto

            Untuk memperjelas perbedaan bunga dengan diskonto, marilah kita perhatikan ilustrasi sebagai berikut!
        
            Budi menminjam uang kepada Rony sebesar Rp 20.000.000,00 atas dasar bunga tunggal yang akan dikembalikan setahun kemudian. Jika saat meminjam, Jumlah uang yang ditrima BUdi sebesar Rp 18.000.000,00, maka hal ini di katakan Budi telah membayar diskonto sebesar Rp 2.000.000,00.
            Dari kejadiaan diatas, dapat disimpulkan bahwa diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam saat menerima pinjaman.
            Jika nilai diskonto = D, jumlah uang yang diterima saat meminjam atau Nilai Tunai = NT, dan jumlah uang yang harus dikembalikan atau Niai Akhir = NA, maka hubunga ketiganya dinyatakan dalam bentuk :

Text Box: D = NA - NT                           


         Ada dua cara untuk mencari diskonto adalah sebagai berikut :

1)      Disakonto dari nilai akhir

                 
Text Box:   



        
         Keterangan :
         D         = Diskonto
         P          = Suku bunga diskonto
         NA      = Nilai akhir
         t           = waktu pinjaman
         h          = 1, 12, dan 360
2)      Diskonto dari nilai tunai
Text Box:             
                       





Perbedaan bunga tunggal dan bunga majemuk

      Untuk memahami perbedan antara bunga tunggal dengan bunga majemuk,  marilah kita perhatikan contoh – contoh berikut!

         Contoh :
Anjani  menabung uang dibank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal  5 % setahun. Menjadi berapakah uang Anjani setelah satu tahun?

Jawab :
Diketehui :
M   = 2.000.000
P    = 5
t     = 3
I     =
      =
        
Jadi, jumlah uang Anjani setelah 3 tahun menjadi Rp 2.000.000,00 + Rp 300.000,00 = Rp 2.300.000,00

Perhitungan nilai akhir modal

Dengan menggunakan rumus

Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar P % satahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah : ( i =   )
Maka rumusnya adalah :

Text Box: Mn = M ( 1 + i)n 







Perhitungan nilai tunai modal

Dengan menggunakan rumus nilaitunai
Kita masih ingat bahwa rumus nilai akhir bunga majemuk, yaitu :

Text Box: Mn = M ( 1 + i)n 


Rumus di atas dapat diubah menjadi :


 




M   = modal mula – mula atau nilai tunai ( NT )
Mn = modal setelah n jangka waktu ( periode ),selanjutnya ditulis M
Jadi ,
Atau
atau


Text Box: NT = M ( 1 + i)-n



Menentukan nilai tunai modal dengan kalkulator
Nilai tunai modal dengan masa bunga pecahan



Text Box:

  




Menyelesaikan Masalah Rente Dalam Keuangan.
Pengertian Rente dan Macan Rente
         Rente adalah deret modal yang dibayarkan atau diterima pada sertiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya. Masing – masing modal ini disebut angsuran. Pada hakikatnya , ada tiga macam rente sebagai berikut ini ;
1. Berdasar saat pembayaran angsuran meliputi :
          1) Rente pra – numerando
          2) Rente post – numerando
2. Berdasarkan banyaknya angsuran, meliputi :
          1) Rente terbatas
          2) Rente Kekal
3. Berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama,meliputi :
          1) Rente langsung
          2) Rente yang di tangguhkan

2.      Menghitung Nilai Akhir Rente

         Nilai akhir rente adalah jumlah seluruh angsuran dan bunga – bunga yang di hitung pada akhir masa bunga terakhir. Nilai akhir rente dinyatakan dengan NA.Ada dua macam nilai akhir rente, yaiti nilai akhir rete pra – numerando dan nilai akhir rente post – numerando.
2.a.   Menghitung Akhir Rente Pra - numerando
Dengan Deret Geometri
  atau
Text Box:          
        
        


Bentuk ( 1 + i )n dapat dicari dalam Daftar bunga I.

Dengan Daftar Bunga
        
         Selan dengan deret geometri, nilai akhir rente pra – numerando juga dapat disajikan dalam bu\entuk notasi sigma :
Text Box:          




2.b.   Akhir Rente Post- numerando
         Nilai akhir post – numerando adalah nilai akhir suatu rente yang amgsuran terakhirnya belum mengalami pembungaan.
Atau
        


Text Box:

        



         Rumus diatas adalah nilai akhir rente post – numerando, bentuk ( 1 + i ) dapat dicari dalam daftar I atau dengan kalkulator.
Atau dinyatakan sebagai berikut :
Text Box:                   






3.      Hitung Nilai Tunai Rente

         Nilai tunai rente adalah jumlah seluruh nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga pertama, yang dinyatakan dengan NT.
         Ada dua jenis nilai tunai rente yaitu : nilai tunai rente pra – numerando dan nilai tunai rente post – numerando.

3.a.   Menghitung Nilai Tunai Rente Pra - numerando
Maka rumus NA diatas dapat diubah menjadi :
        
         Atau
Text Box:         



   Selain dengan deret geometri dapatjuga disajikan dengan notasi sigma :
NA   = M + M(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 +  ... + M(1+ i )2 - n + M(1+ i )1 - n
NA   = M + M[(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 +  ... + M(1+ i )2 – n + M(1+ i )1 - n ]
Text Box:                                                                           




Bentuk dicari dalam daftar IV
3.b.   Menghitung Nilai Tunai Rente Post – numerando
     
      Atau nilai tunai rente post – numerando :

Text Box:           
     

1 komentar: