MATEMATIKA KEUANGAN
BUNGA TUNGGAL,BUNGA MAJEMUK DAN ANUITAS
PERHITUNGAN BUNGA DALAM MATEMATIKA KEUANGAN
Bunga adalah jumlah sewa yang dikenakan oleh institusi
keuangan atas pemakaian uang, atau Jumlah uang yang diterima sebagai
hasil dari investasi dana, baik dengan meminjamkannya atau dengan
menggunakannya untuk pembelian bahan, tenaga kerja, atau fasilitas.
Jadi, bunga merupakan pertambahan pada jumlah uang
yang semula dipinjamkan atau yang diinvestasikan.
1. Bunga
Majemuk
Pengertian :
Bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke dalam nilai pokok pada akhir
setiap periode untuk mendapatkan nilai pokok yang baru
Jika kita menyimpan modal
berupa uang di bank selama pereode bunga tertentu, misalnya satu tahun, maka
setelah satu tahun kita akan mendapat bunga sebesar P % kali modal yang kita
bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tapi ditambahkan pada modal awal
untuk dibungakan lagi pada pereode berikutnya sehingga besarnya bunga pada
setiap periode berikut berbeda jumlanya ( menjadi bunga berbunga ) maka dikatan
modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.
Manfaat Bunga Majemuk
- Menghitung Anuitas
- Mengamortisasi Utang dan Obligasi
- Penilaian alternatif dari beberapa investasi/pendanaan
Rumus Bunga Majemuk
Mn = M (1+b)n
b = jm/m
Notasi :
Mn = nilai akhir
M = nilai pokok awal
n =
jumlah periode perhitungan bunga
b =
tingkat bunga per periode perhitungan bunga
m = frekuensi perhitungan bunga
jm
= tingkat bunga nominal dengan periode
perhitungan m kali per tahun
Contoh 1:
Mencari NILAI BUNGA MAJEMUK
Hitunglah bunga dari Rp 1.000.000 selama 2
tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. apabila bunga dihitung semesteran ?
Diketahui :
Mn = M (1+b)n
b = jm/m
M = 1.000.000
I = 10 % : 2 (Semester )= 0,05
n = 1periode
Mn = 1.000.000 (1+0,05) 1
Mn = M (1+b)n
b = jm/m
M = 1.000.000
I = 10 % : 2 (Semester )= 0,05
n = 1periode
Mn = 1.000.000 (1+0,05) 1
Periode
(n)
|
Nilai
Pokok Awal (P)
|
Bunga
Majemuk
|
Nilai
akhir
(
Mn = M (1+i) n
|
1
|
Rp1.000.000
|
Rp1.000.000
x 0,05 = Rp50.000
|
Rp1.050.000
|
2
|
Rp1.050.000
|
Rp1.050.000
x 0,05 = Rp52.500
|
Rp1.102.500
|
3
|
Rp1.102.500
|
Rp1.102.500
x 0.05 =Rp55.125
|
Rp1.157.625
|
4
|
Rp1.157.625
|
Rp1.157.625
x 0.05 =Rp57.881,25
|
Rp1.215.506,25
|
Jadi total
bunga majemuk selama 2 tahun yang dihitung semesteran adalah Rp 215.506,25,-
Latihan :
Hitunglah
bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 18% p.a.
apabila bunga dihitung semesteran ?
Hitunglah
bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 12% p.a.
apabila bunga dihitung semesteran ?
Hitunglah
bunga dari Rp 2.000.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 24%
p.a. apabila bunga dihitung semesteran
Contoh 2 :
Berapa nilai
S dari P = Rp1.000.000 dengan tingkat bunga dihitung semesteran atau j2
= 18% p.a. selama 5 tahun?
Tuan Garda
menyimpan uangnya sebesar Rp5.000.000 dalam sebuah bank yang memberikan bunga
sebesar 18% pertahun dimana bunga dihitung bulanan. Berapa besarnya bunga yang
dihasilkan selama tahun pertama?
JAWAB :
Soal 1
Dik etahui :
M = Rp1.000.000
b
= 18% / 2 = 9% = 0.09
n
= 5 x 2 = 10 periode
Mn= M (1+b)n
M = Rp1.000.000 (1+0,09)10
M = Rp1.000.000 (2,367363675)
M = Rp2.367.363,675
Soal 2
M= Rp5.000.000
b = 18% / 12 = 1,5% = 0,015
n = 12 periode
Mn = M(1+b)n
Mn = Rp5.000.000 (1+0,015)12
Mn = 5.978.090,857
b
= S – P
b
= Rp5.978.090,857 – Rp5.000.000
b
= Rp 978.090,857
Latihan ke2
1.Berapa nilai Mn dari M = Rp2.000.000 dengan
tingkat bunga dihitung semesteran
atau
j2 = 24% p.a. selama 5 tahun?
2.Tuan Garda menyimpan uangnya sebesar
Rp10.000.000 dalam sebuah bank yang
memberikan
bunga sebesar 12% pertahun dimana bunga dihitung bulanan. Berapa
besarnya
bunga yang dihasilkan selama tahun pertama
B. Menghitung Nilai Sekarang
Proses mencari nilai sekarang
(present value) disebut Pendiskontoan (discounting)
RUMUS :
Dari Persamaan : Mn =
M(1+b)n
Maka, untuk mencari M ???
M = Mn / (1+b)n
Berapa nilai M yang membuat Mn = Rp
100.000.000 dengan tingkat bunga dihitung triwulan atau j4 = 12% p.a. selama 6 tahun?
j4 = 12 bulan : 3 bulan = 4 bulan
Jawab :
Mn = Rp100.000.000
b = 12% / 4 = 3% = 0,03
N = 6 x 4 = 24 periode
Mn = M(1+b)n
100.000.000 = M(1+0,03)24
100.000.000 = M(2,032794106)
M= Rp 49.193.373,65
.
Menghitung Tingkat Bunga dan Jumlah
Periode
Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Tingkat Bunga ( b) :
Bagaimana
mencari b ???
M (1+b)n = Mn
(1+b)n = Mn / M
(1+b)
= (Mn / M)1/n
b = (Mn / M)1/n – 1
Dengan menurunkan persamaan untuk mencari Jumlah Periode ( n ) :
Bagaimana mencari n ???
M (1+i)n = Mn
(1+i)n = Mn/ M
log (1+b)n = log Mn / M
n log (1+b) = log Mn/ M
n
= log Mn / M
log
(1+b)
Contoh soal :
Garda sekarang menginvestasikan uang sebanyak Rp50.000.000 dengan tingkat
bunga 24% per tahun yang dihitung bulanan
a) Berapa besar uang Garda bila
ia hendak mengambilnya pada :(Mn)
- Akhir tahun pertama
- Akhir tahun kedua
- Akhir tahun ketiga
b) Apabila Garda ingin uangnya
menjadi Rp150.000.000 berapa lama ia harus menunggu ? (n)
c) Apabila uang tersebut ia
depositokan dengan bunga majemuk yang dihitung bulanan selama 3 tahun, ia akan
memperoleh Rp130.000.000. Berapakah tingkat bunga yang diberikan deposito itu ?
(b)
Jawab :
Dik : j12 = 24
b = 2%
M = Rp50.000.000
a)Jumlah uang Garda jika diambil pada :
Akhir tahun pertama (n=12)
Mn= M (1+b)n
Mn =
Rp.50.000.000 (1+2%)12
Mn = Rp 63.412.089,73
b) Akhir tahun kedua (n=24)
Mn = M (1+b)n
Mn = Rp50.000.000 (1+2%)24
Mn= Rp80.421.862,47
c) Akhir tahun ketiga (n=36)
Mn = M(1+b)n
Mn= Rp 50.000.000 (1+2%)36
Mn= Rp101.994.367,2
B. Bila Garda ingin uangnya menjadi
Rp150.000.000, maka ia harus menunggu selama :
n = log Mn/M
log (1+b)
n = log Rp150.000.000 / Rp 50.000.000
log (1+2%)
n = 55,48 bulan
C. Tingkat bunga deposito
b = (Mn/ M)1/n – 1
b = (Rp130.000.000 / 50.000.000)1/36-1
B = 2,69 % atau 32,28% per tahun
Latihan :
1.
Pada ulang tahun ke-20, Anjani memperoleh hadiah uang sebesar Rp
10.000.000,- sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Anjani dilahirkan.
Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat dia dilahirkan, jika
tingkat bunga tabungan tidak berubah yaitu 6% per tahun (dihitung bulanan) ?
2.
Seorang bapak menabung dalam bentuk deposito sebagai persiapan untuk
warisan bagi anaknya sebesar Rp 20.000.000,- dan setelah 25 tahun uang itu
diambil dengan bunga tetap 6% per tahun yang dihitung bulanan. Berapa jumlah
uang bapak tersebut?
2.Bunga Tunggal
Pengertian Bunga
Persen Diatas Seratus dan Persen Dibawah
Seratus
Persen Di atas Seratus
Persen diatas seratus
adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan
seratus. Secara umum di tulis :
![]() |
Untuk menentukan P diatas seratus dari modal M dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu :
Dengan perhitungan biasa,P % di atas seratus dari
modal M adalah :
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif)
Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif)
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak
terhingga dengan :
Suku pertama ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif)
Rasio ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif)
Sehingga ,
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif)
Dengan demikian untuk menghitung
adalah :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.gif)
Hitung ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image018.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image018.gif)
Hasil 1) dikurangi ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif)
Hasil 2) ditambah ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image024.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image024.gif)
Hasil 3) dikurangi ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image026.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image026.gif)
Dan seterusnya
Contoh 3
Persen Di bawah Seratus
Persen dibawah seratus
adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan
seratus. Secara umum di tulis :
![]() |
Untuk menentukan P dibawah seratus dari modal M dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu :
Dengan perhitungan biasa,P % di bawah seratus dari modal M adalah :
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.gif)
Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image032.gif)
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak
terhingga dengan :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image034.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image036.gif)
Dengan demikian untuk menghitung
adalah :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image038.gif)
Pengertian Bunga Tunggal
Bunga Tunggal
adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak
mempengaruhi besarnya modal yang dipimjam.
Jika kita
memperbungakan modal (uang ) sebesar M dengan bunga tunggal sebesar P %
setahun, dan besarnya bunga dinyatakan dengan I , maka :
Setelah t tahun, besarnya bunga :
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image040.gif)
Setelah t bulan, besarnya bunga :
![]() |
Setelah t bulan, besarnya bunga :
1) Jika satu tahu 360 hari, maka
![]() |
2) Jika satu tahun 365
hari ( tahun kabisat) ,maka
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image046.gif)
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image047.gif)
3) Jika satu tahun 366 hari ( tahun kabisat) ,maka
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image049.gif)
Metode Perhitungan Bunga Tunggal
a. Metode Pembagi Tetap
Kita telah mengenal
rumus untuk mencari besar bunga dari uang sebesar M yang digunakan selama t
hari dengan suku bunga P % setahun,yang dirunuskan sebagai berikut :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image051.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image053.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image055.gif)
Bentuk
disebut angka tahun
dan
disebut penbagi tetap,
maka rumus bunga di atas menjadi :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image057.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image059.gif)
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image061.gif)
Jika ada beberapa uang yang dipergunakan atas dasar bunga yang sama
maka :
|
b. Metode persen yang
sebanding
Metode persen yang
sebanding digunakan jika suku bunga bukan merupakan pembagi habis 360, sebab
dengan metode ini satu tahun dihitung 360 hari,missal kita ambil suku bunga 9
% setahun ,dengan langkah sebagai berikutini :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image065.gif)
a. Hitunglah
besar bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga merupakan pembagi
habis 360 !
b. Hitunglah
besar bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang sebanding!
c. Metode persen yang
seukuran
Metode persen yang
seukuran menggunakan perhitungan satu tahun = 365, sehingga perhitngan dengan
metode ini mula – mula harus dihitung bunga 5 % setahun sebagai berikut :
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image067.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image069.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image071.gif)
Bilangan ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image073.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image073.gif)
Jadi, besar bunga 5 % sebanding dengan
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image075.gif)
Kemudian, menghitung besarnya bunga yang dimaksud dengan metode
persen yang sebanding.
c. Rp
900.000,00 selama 90 hari
a.
Perbedaan
bunga dengan diskonto
Untuk memperjelas perbedaan bunga dengan diskonto, marilah kita
perhatikan ilustrasi sebagai berikut!
Budi menminjam uang
kepada Rony sebesar Rp 20.000.000,00 atas dasar bunga tunggal yang akan dikembalikan
setahun kemudian. Jika saat meminjam, Jumlah uang yang ditrima BUdi sebesar Rp
18.000.000,00, maka hal ini di katakan Budi telah membayar diskonto sebesar Rp
2.000.000,00.
Dari kejadiaan
diatas, dapat disimpulkan bahwa diskonto adalah bunga yang dibayarkan
oleh peminjam saat menerima pinjaman.
Jika nilai diskonto
= D, jumlah uang yang diterima saat meminjam atau Nilai Tunai = NT, dan jumlah
uang yang harus dikembalikan atau Niai Akhir = NA, maka hubunga ketiganya
dinyatakan dalam bentuk :
![Text Box: D = NA - NT](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image076.gif)
Ada
dua cara untuk mencari diskonto adalah sebagai berikut :
1) Disakonto dari nilai
akhir
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image078.gif)
Keterangan :
D = Diskonto
P = Suku bunga diskonto
NA = Nilai akhir
t = waktu pinjaman
h = 1, 12, dan 360
2) Diskonto dari nilai
tunai
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image080.gif)
Perbedaan bunga tunggal dan bunga
majemuk
Untuk memahami perbedan antara bunga tunggal dengan bunga
majemuk, marilah kita perhatikan contoh
– contoh berikut!
Contoh :
Anjani menabung uang dibank
sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 5 % setahun. Menjadi berapakah uang Anjani
setelah satu tahun?
Jawab :
Diketehui :
M = 2.000.000
P = 5
t = 3
I = ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image082.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image082.gif)
= ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image084.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image084.gif)
Jadi, jumlah uang Anjani setelah 3 tahun menjadi Rp 2.000.000,00 +
Rp 300.000,00 = Rp 2.300.000,00
Perhitungan nilai akhir modal
Dengan menggunakan rumus
Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar P %
satahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah : ( i =
)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image086.gif)
Maka rumusnya adalah :
![Text Box: Mn = M ( 1 + i)n](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image087.gif)
Perhitungan nilai tunai modal
Dengan menggunakan rumus nilaitunai
Kita masih ingat bahwa rumus nilai akhir bunga majemuk, yaitu :
![Text Box: Mn = M ( 1 + i)n](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image087.gif)
Rumus di atas dapat diubah menjadi :
|
M = modal mula – mula atau
nilai tunai ( NT )
Mn = modal setelah n jangka
waktu ( periode ),selanjutnya ditulis M
Jadi , ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image091.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image091.gif)
Atau ![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image093.gif)
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image093.gif)
atau
![]() |
Menentukan nilai tunai modal dengan
kalkulator
Nilai tunai modal dengan masa
bunga pecahan
![]() |
Menyelesaikan
Masalah Rente Dalam Keuangan.
Pengertian Rente dan
Macan Rente
Rente adalah deret modal yang dibayarkan
atau diterima pada sertiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya. Masing –
masing modal ini disebut angsuran. Pada hakikatnya , ada tiga macam
rente sebagai berikut ini ;
1. Berdasar saat pembayaran angsuran
meliputi :
1) Rente pra – numerando
2) Rente post – numerando
2. Berdasarkan banyaknya angsuran,
meliputi :
1) Rente terbatas
2) Rente Kekal
3. Berdasarkan langsung tidaknya
pembayaran pertama,meliputi :
1) Rente langsung
2) Rente yang di tangguhkan
2. Menghitung
Nilai Akhir Rente
Nilai
akhir rente adalah jumlah seluruh angsuran dan bunga – bunga yang di hitung
pada akhir masa bunga terakhir. Nilai akhir rente dinyatakan dengan NA.Ada dua
macam nilai akhir rente, yaiti nilai akhir rete pra – numerando dan nilai akhir
rente post – numerando.
2.a. Menghitung
Akhir Rente Pra - numerando
Dengan
Deret Geometri
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image098.gif)
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image100.gif)
Bentuk ( 1 + i )n dapat dicari
dalam Daftar bunga I.
Dengan
Daftar Bunga
Selan
dengan deret geometri, nilai akhir rente pra – numerando juga dapat disajikan
dalam bu\entuk notasi sigma :
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image102.gif)
2.b.
Akhir Rente Post- numerando
Nilai
akhir post – numerando adalah nilai akhir suatu rente yang amgsuran terakhirnya
belum mengalami pembungaan.
Atau
![]() |
Rumus diatas adalah nilai akhir rente post – numerando,
bentuk ( 1 + i ) dapat dicari dalam daftar I atau dengan kalkulator.
Atau dinyatakan sebagai berikut
:
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image106.gif)
3. Hitung
Nilai Tunai Rente
Nilai tunai rente adalah jumlah seluruh
nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga pertama, yang
dinyatakan dengan NT.
Ada
dua jenis nilai tunai rente yaitu : nilai tunai rente pra – numerando dan nilai
tunai rente post – numerando.
3.a. Menghitung
Nilai Tunai Rente Pra - numerando
Maka rumus NA diatas dapat diubah menjadi
:
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image108.gif)
Atau
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image110.gif)
Selain
dengan deret geometri dapatjuga disajikan dengan notasi sigma :
NA =
M + M(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 - n + M(1+ i )1
- n
NA =
M + M[(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 – n + M(1+ i )1
- n ]
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image112.gif)
Bentuk
dicari dalam daftar IV
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image114.gif)
3.b. Menghitung
Nilai Tunai Rente Post – numerando
![](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image116.gif)
Atau
nilai tunai rente post – numerando :
![Text Box:](file:///C:/Users/ACER47%7E1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image118.gif)
mantab, rumusnya kog gak keluar ya?
BalasHapusafwan kak, rumusnya tdak dapat dilihat.
BalasHapusgimana ya caranya bikin opsen yg menjebak? jadi setiap dihitung ketemu jawabannya, tapi sebenarnya itu jawaban yg salah
BalasHapusmaaf kalo boleh tau tanda "/" itu maksudnya apa?
BalasHapusterima kasih...
Senang Ramadam!!!
BalasHapusAnda telah mencari tawaran pinjaman tertentu? Mungkin pemberi pinjaman yang sah untuk pinjaman besar, atau pinjaman murah dan cepat di 2% per tahun untuk membayar tagihan darurat dan utang? hubungi kami sekarang, (financialassuranceloans@gmail.com, financialassuranceloans@accountant.com)
yang di text box ga kelihatan
BalasHapusseorang merencanakan untuk menikah empat tahun yang akan datang untuk biaya pernikahan berencana mendepositokan uangnya dibank konvensional sebanyak rp.40.000.000 dalamjangka waktu 4 tahun. bunga depositnya diterima setiap 4bulan sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 10% pertahun.berapa jumlah uang yang diterima setelah masa jatuh tempo dari depositonya ?
BalasHapusitu kira" ppke rmus aph k ?
BalasHapusApakah Anda membutuhkan pinjaman untuk membayar tagihan, mengembangkan bisnis skala kecil atau menengah Anda? Ibu Elizabeth Louis Pinjaman Perusahaan memberikan kesempatan untuk membuat impian Anda menjadi kenyataan dengan memberikan pinjaman kepada individu swasta atau pemerintah dan Perusahaan dengan tingkat bunga 2% untuk awal untuk setiap jumlah yang dibutuhkan dan dengan jadwal pembayaran yang fleksibel. Hubungi Ibu Elizabeth Louis untuk LOAN Anda hari ini melalui email: elizabethlouisloancompany@gmail.com
BalasHapusAKHIR TAHUN PINJAMAN PENAWARAN .. AKHIR TAHUN PINJAMAN PENAWARAN ..
BalasHapusSaya Chloe Morrison, A pemberi pinjaman kredit, saya meminjamkan uang kepada individu atau perusahaan yang ingin mendirikan sebuah bisnis yang menguntungkan, yang merupakan periode utang lama dan ingin membayar. Kami menyediakan semua jenis pinjaman Anda dapat pernah berpikir, kita baik pinjaman swasta dan pemerintah, dengan suku bunga kredit dari 2%.
Hubungi kami sekarang dengan alamat email panas kami: (Chloemorrisloanfirm@gmail.com) Kebahagiaan Anda adalah perhatian kami.
(CHLOEMORRISLOANFIRM)
kok gambarnya bnyak yg ngak bisa kebuka yyah
BalasHapusApakah Anda perlu pinjaman mendesak untuk melunasi utang Anda atau Anda membutuhkan pinjaman untuk meningkatkan bisnis Anda? Apakah Anda membutuhkan pinjaman konsolidasi atau hipotek? Apakah Anda pernah ditolak oleh bank dan lembaga keuangan lainnya? Mencari lagi karena kami berada di sini untuk membuat semua masalah keuangan Anda sesuatu dari masa lalu !! kami memberikan pinjaman kepada perusahaan, badan swasta dan individu pada tingkat bunga rendah dan terjangkau dari 2%. Anda dapat menghubungi kami melalui e-mail melalui: (mariajorgeglobalfinance@gmail.com)
BalasHapusAPLIKASI DATAa
1) Nama ...........................
2) Negara .......................
3) Alamat ......................
4) Jenis Kelamin ........................
5) Status perkawinan .............
6) Pekerjaan ................
7) Nomor Telepon ...........
8) posisi di tempat kerja .....
9) pendapatan bulanan ....................
10) Jumlah Pinjaman .........
11) durasi pinjaman .....
12) Tujuan pinjaman ..................
13) Tanggal Lahir ........................
Terima kasih.
Halo, saya adalah Ibu Jessica Rojas, pemberi pinjaman uang pribadi, apakah Anda berhutang? Anda butuh dorongan finansial? Pinjaman untuk mendirikan bisnis baru, untuk memenuhi tagihan Anda, menumbuhkan bisnis Anda tahun ini dan juga untuk renovasi rumah Anda. kami memberikan pinjaman kepada lokal, internasional dan juga perusahaan dengan tingkat bunga sangat rendah 2%. Anda dapat menghubungi kami melalui Email: (Jessicarojasloanfirm1998@hotmail.com)
BalasHapusAnda dipersilahkan untuk perusahaan pemberi pinjaman kami dan kami akan memberikan yang terbaik dari layanan kami.
Salam
Nyonya Jessica Rojas
Saya adalah pemberi pinjaman pribadi pribadi yang sah, kami menawarkan dana hingga 100% untuk berbagai jenis pinjaman seperti pinjaman komersial, pinjaman usaha, pinjaman hipotek, hutang Debt Financing atau Bridge & Construction worldwide! Kami mendanai proyek Energi, Teknologi, Pertambangan, Real Estat dan Bisnis Pembiayaan Real Estat, Pinjaman Uang Sulit, Pembiayaan Ekuitas & Utang, Pembiayaan Jembatan & Konstruksi dengan suku bunga 2%. Kekuatan kami adalah Syndicancing Deals in Investment.
BalasHapusKami juga menyambut BROKER, karena kami membayar komisi kepada broker, yang memperkenalkan pemilik proyek untuk keuangan atau peluang lainnya. Untuk keterangan lebih lanjut silahkan hubungi kami.
Jika ya, silakan kirimkan ringkasan dari apa yang Anda cari sebagai pinjaman dengan alamat email langsung Anda ke email saya:
Alamat Email: Jessicarojasloanfirm1998@hotmail.com
Salam Hormat
-
Nyonya Jessica Rojas
Petugas pinjaman
Ibu Jessica Private Lending
9541 Jalan Sw Inez
Tigard, Oregon 97224
nomor whatsapp: +2349079785567
Email: Jessicarojasloanfirm1998@hotmail.com
Perhatian !!!!!! Perhatian !!!!!!! Perhatian !!!!!!!
BalasHapusSelamat Datang di kepemilikan Armstrong plc telah menyediakan lebih dari $ 20 Miliar pinjaman bisnis kepada lebih dari 30.000 pemilik bisnis seperti Anda. Kami menggunakan teknologi risiko yang ditunjuk untuk memberi Anda pinjaman bisnis yang tepat, sehingga Anda dapat mengembangkan bisnis Anda dengan cepat. Layanan kami cepat dan terpercaya, pinjaman disetujui dalam waktu 24 jam setelah aplikasi berhasil. Kami menawarkan pinjaman dari kisaran minimal $ 1.000 sampai maksimal $ 1 Miliar.
Apakah Anda menemukan diri Anda dalam sedikit masalah dengan tagihan yang belum dibayar dan tidak tahu ke mana harus pergi atau kemana harus berpaling? Bagaimana dengan menemukan perusahaan Debt Consolidation yang memiliki reputasi baik yang dapat membantu Anda dalam mengurangi angsuran bulanan, sehingga Anda memiliki pilihan pelunasan yang terjangkau serta ruang untuk bernafas saat sampai pada akhir bulan dan tagihan perlu dibayar? Armstrong holdings plc adalah jawabannya. Kurangi pembayaran Anda agar mudah menekan biaya bulanan Anda. Email kami sekarang hari ini: armstrongholdingsplc@gmail.com
APAKAH ANDA MEMBUTUHKAN 100% KEUANGAN? kami memberikan pinjaman dengan suku bunga yang terjangkau sebesar 2%, Armstrong holdings plc bertujuan untuk menyediakan Excellent Professional Financial Services.
Layanan kami meliputi:
* Pinjaman Konsolidasi Utang * Pinjaman Bisnis * Pinjaman Pribadi * Pinjaman Rumah Tangga * Keuangan Mobil * Pinjaman Komersial * Pinjaman Investasi * Konsolidasi Utang * Perencanaan Bisnis * Pengembangan Komersial Keuangan * Properti Hipotek * Pinjaman kredit buruk * pinjaman komersial * Pinjaman modal kerja awal * Pinjaman konstruksi * Kredit mobil * Pinjaman hotel * Pinjaman siswa.
Kami memberikan pinjaman dengan bunga rendah 2% dan jangka waktu pinjaman 1 sampai 30 tahun untuk melunasi pinjaman (aman dan tidak aman). Jangan menyimpan masalah keuangan Anda kepada diri sendiri agar Anda tidak menjadi master utang atau tekanan keuangan, karena itulah Anda harus segera menghubungi kami untuk mendapatkan solusi atas masalah keuangan Anda. Ini akan sangat menyenangkan bagi kita saat Anda stabil secara finansial. Email sekarang untuk informasi lebih lanjut di: armstrongholdingsplc@gmail.com
CATATAN: Ingatlah bahwa hanya membutuhkan waktu kurang dari 24 Jam untuk memproses file Anda 100% Guaranteed tidak peduli Skor Kredit Anda.
Dengan hormat,
Kepemilikan Armstrong plc
Alamat email: armstrongholdingsplc@gmail.com
Nomor ponsel: +393510749331
Kami bersertifikat dan privasi Anda 100% aman bersama kami. Jangan khawatir lagi tentang pinjaman atau keuangan Anda.
Dapatkan persetujuan pinjaman instan Anda?
Pelanggan yang terhormat sayang,
BalasHapusSelamat datang di Eco Teck Plc Company, yang Anda cari pinjaman untuk membayar tagihan dan pembiayaan atau investasi dalam proyek ini? Kami mempublikasikan perusahaan peminjaman internasional dan individu yang telah tutup untuk bank dan lembaga keuangan lainnya tidak khawatir lagi karena Anda menghubungi kami hari ini dan mendapatkan kredit Anda secepat dan semudah Anda melamar sekarang ...
Kami menawarkan semua jenis pinjaman sekarang Pinjaman bisnis dan banyak lagi: Jika Anda sangat tertarik dengan penawaran kredit, silakan hubungi kami di email id di bawah ini:
Email: ecoteckcompanyplc@gmail.com
Kabar baik
BalasHapusNama saya Ayu Ahmed, warga negara Indonesia, dari kota Yogyakarta. Saya ingin menggunakan media ini untuk memberikan rekomendasi krusial bagi semua warga negara Indonesia di mana untuk mencari pinjaman menjadi sangat hati-hati karena internet dipenuhi dengan penipu, beberapa bulan yang lalu saya sangat membutuhkan pinjaman, karena situasi keuangan saya tidak terlalu baik dan putus asa aku jatuh ke tangan pemberi pinjaman palsu, saudi arabia. Saya hampir mati, sampai seorang teman saya merujuk saya kepada pemberi pinjaman yang sangat bisa diandalkan yang disebut Mrs. Mary William, pemilik organisasi kredit global, dia adalah pemberi pinjaman Asli; Saya menelepon dan dia meminjamkan jumlah pinjaman dari Rp 555.000.000,00 dalam waktu kurang dari 12 jam perawatan dengan tingkat bunga 2% dan mengubah kehidupan seluruh keluarga saya.
jadi ini pekerjaan yang baik dari Ibu Mary William dalam hidup saya dan keluarga saya, saya memutuskan untuk mengingatkan dan membagikan kesaksian saya tentang Ny. Mary, sehingga orang-orang dari negara saya dan kota saya dapat memperoleh pinjaman dengan mudah tanpa stres. Jadi, jika Anda membutuhkan pinjaman dalam bentuk apa pun, silakan hubungi Ms. Mary William melalui email: marywilliam902@gmail.com
Anda juga dapat menghubungi saya di email saya: ayuahmed180@gmail.com dan Miss Ruth yang memperkenalkan saya dan memberi tahu saya tentang Mrs. Mary, Dia juga menerima pinjaman dari Ibu Mary. Anda juga dapat menghubunginya melalui emailnya: ruthedwin98@gmail.com Sekarang, saya adalah seorang pemilik bisnis wanita yang baik dan hebat di kota saya, Semoga Tuhan terus memberkati Ibu Mary William untuk pekerjaan yang baik dalam hidup saya dan keluarga saya.
Nama saya Lady Queen, Anda dipersilakan untuk ACCESS LOANS FIRM tempat di mana Anda memiliki kesempatan untuk mengubah defisien keuangan menjadi individu yang kaya dengan bantuan staf berkualifikasi tinggi melalui staf yang ditentukan dan memiliki sumber daya keuangan yang baik selingkuh atau merampok orang dari uang mereka adalah tabu. di mana Anda secara finansial siap untuk mengatasi kekurangan keuangan saya, saya terhenti itulah sebabnya kami datang ke sini untuk memberitahu Anda bahwa tidak semua kreditur online adalah penipuan atau penipuan karena prioritas utama dari ACCESS LOANS FIRM adalah untuk menyediakan dana di mata uang apa pun untuk semua klien mereka sehingga mereka akan dapat memenuhi kebutuhan keuangan mereka setiap hari jadi jangan biarkan saya ditinggalkan Anda membutuhkan dana untuk:
BalasHapusPINJAMAN TERSEDIA YANG KAMI TAWARKAN
✓ Pinjaman Pribadi
✓Housing Loan,
✓ Tagihan rumah sakit
✓ Renovasi rumah
✓ Perluasan Bisnis
✓ Refinancing Perluasan Pertanian
✓ Penambangan Emas
✓ Proyek pembiayaan dengan kebutuhan keuangan yang lebih tinggi
✓ Pinjaman Bisnis
✓ Pinjaman Investasi
Jadi jika Anda sangat membutuhkan dana yang sangat penting ini yang perlu Anda lakukan adalah menghubungi kami melalui alamat berikut karena Anda akan hadir dengan kepuasan dan kegembiraan, kami selalu dalam dua puluh jam sehari. dan tujuh hari seminggu agar staf kami akan memberikan layanan keuangan terbaik yang Anda inginkan
e-mail:
HEAD OFFICE (accessloansfirm@gmail.com)
CABANG MANAJER (estherpatrick83@gmail.com)
WhatsApp (+1 850-677-1763)
Kami memperlakukan klien kami dengan sangat hormat karena kerja sama bertahun-tahun membuat kami terus berjalan karena penawaran kami sangat menarik dan prosesnya sederhana dan tanpa stres.
Terima kasih semua
instagram: Aasimahaadilaaloanfirm
BalasHapustwitter: ... aasimahaadilaahmedloanfirm
E-mel: aasimahaadilaahmed.loanfirm@gmail.com
salla Llâhu ‘alayhi wa sallam, nama saya Neni Syahir, saya adalah korban penipuan di tangan kreditor palsu. Saya kehilangan sekitar Rp.65.000.000 karena saya membutuhkan modal besar Rp. 5,5 miliar. Saya hampir mati, saya tidak punya tempat untuk pergi dan bisnis saya hancur, dan dalam proses itu saya kehilangan suami saya. saya tidak tahan lagi dengan hal ini. 4 November 2019 ini, saya bertemu dengan seorang teman lama di sebuah restuarant di Bandung yang memperkenalkan saya kepada seorang ibu yang baik, Ny. AASIMAHA ADILA MEMILIKI LOAN FIRM, yang akhirnya membantu saya mendapatkan pinjaman di sebuah perusahaan. Tolong, bantu saya untuk berterima kasih kepada ibu muslim yang memberikan pinjaman besar kepada pemilik perusahaan, pabrik burung hantu dan orang pribadi. Saya juga ingin menggunakan kesempatan ini untuk menasihati sesama orang Indonesia, Jika Anda ingin pinjaman modal besar, Anda dapat menghubungi mereka dan melihat situs web mereka Anda perlu tahu bahwa ada banyak scammers di blog ini yang tidak memiliki situs web di google map, saya menawarkan pinjaman dengan tingkat sangat rendah 1% dan saya mendapat pinjaman dalam 1 jam. .
Kontak Aplikasi pinjaman besar
E-mel: *******aasimahaadilaahmed.loanfirm@gmail.com
WhatsApp ::: ************ + 447723553516
Email saya; ***************** nenisyahir@gmail.com
Bismillâh ar-ra.hmân ar-ra.hîm
Selamat siang,
BalasHapusHalo, apakah Theresa finace, pemberi pinjaman swasta, apakah Anda berhutang? Anda membutuhkan dorongan finansial? pinjaman untuk membangun bisnis baru, untuk memenuhi tagihan Anda, mengembangkan bisnis Anda di tahun ini, renovasi rumah Anda dan kami juga memberikan pinjaman Bitcoin dengan tingkat bunga yang sangat rendah 2%. Anda dapat menghubungi kami melalui Email: (Theresaloancompany@gmail.com)
Anda dipersilakan untuk bergabung dengan perusahaan pinjaman kami dan kami akan memberikan layanan terbaik kami.
Apakah Anda memiliki hutang yang ingin Anda lunasi?
Apakah Anda secara finansial sedang down dan Anda perlu membangun bisnis?
Apakah bank menolak Anda karena kredit buruk Anda?
Apakah ada pemberi pinjaman yang menolak Anda?
Apakah Anda memerlukan pinjaman bisnis, pinjaman pribadi, pinjaman rumah, pinjaman mobil, pinjaman pelajar, pinjaman konsolidasi hutang, pinjaman tanpa jaminan, modal ventura dll. Tidak perlu khawatir lagi kami adalah pemberi pinjaman swasta yang sah dan terdaftar, kami memberikan pinjaman kepada perusahaan dan individu di suku bunga rendah dan terjangkau. hubungi kami hari ini agar kami dapat melanjutkan lebih jauh. hubungi kami sekarang melalui: customercare @ contactus @ theresafinance.org atau theresaloancompany@gmail.com melalui nomor whatsapp +12817208403
Terima kasih dan berharap mendengar kabar dari Anda secepatnya sehingga kami dapat mengirimkan Syarat, Ketentuan, dan Jadwal Pembayaran kembali pinjaman kepada Anda.
Salam Hormat,
https://theresafinance.org/